\subsection{一元一次方程的应用}\label{subsec:3-4}

\begin{enhancedline}
在小学里， 我们用算术方法和列方程的方法解过一些应用题。 下面进一步介绍怎样列一元一次方程解应用题。

\liti 一种小麦磨成面粉后，重量要减少 $15\%$。为了得到 4250 千克面粉，需要多少千克小麦？

分析：小麦的千克数，减去磨成面粉后减少的千克数，就等于要得到的面粉的千克数。
如果设所需要的小麦为 $x$ 千克，那么根据重量减少 $15\%$，
就可以表示出磨成面粉后减少的千克数，从而可以按照上述相等关系列出方程。

\jie 设需要 $x$ 千克小麦，那么磨成面粉后重量要减少 $\dfrac{15}{100}x$ 千克，根据题意，得
$$ x - \dfrac{15}{100}x = 4250 \juhao $$

解这个方程：
\begin{gather*}
    \dfrac{85}{100}x = 4250 \douhao \\
    x = 5000 \juhao
\end{gather*}

答：需要 5000 千克小麦。

上面的例子说明了列出一元一次方程解应用题的方法：
先用字母（如 $x$）表示题中的未知数；
再列出需要的代数式 \Big( 如例 1 中的 $\dfrac{15}{100}x$ \Big)；
然后根据题中包括已知数与未知数的相等关系列出方程；
解这个方程，求出未的值，写出答案（包括单位名称)。

\liti 如图 \ref{fig:3-3}，要锻造直径为 60 毫米、高为 20 毫米的圆柱形零件毛坯，
需要截取直径为 40 毫米的圆钢多长（图中 $\phi\;40$ 表示直径的长为 40 毫米）？

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czds1-ch3-3}
    \caption{}\label{fig:3-3}
\end{figure}

分析：把圆钢锻造成零件毛坯，虽然长度和底面直径发生了变化，但锻造前后的体积是相等的。也就是有等式
$$ \text{圆钢体积} = \text{零件毛坯体积} \juhao $$

如果设应截取的圆钢长为 $x$ 毫米，那么就可以表示出圆钢的体积和零件毛坯的体积，从而可以按照上述相等关系列出方程。

\jie 设应截取的圆钢长为 $x$ 毫米，那么
圆钢的体积是 $\pi \cdot \left(\dfrac{40}{2}\right)^2 \cdot x \; \lfhm$，
零件毛坯的体积是 $\pi \cdot \left(\dfrac{60}{2}\right)^2 \cdot 20 \; \lfhm$，
根据题意，得
$$ \pi \cdot \left(\dfrac{40}{2}\right)^2 \cdot x = \pi \cdot \left(\dfrac{60}{2}\right)^2 \cdot 20 \juhao $$

解这个方程：
\begin{gather*}
    400x = 18000 \douhao \\
    x = 45 \juhao
\end{gather*}

答：应截取的圆钢长为 45 毫米。

实际截料时，要适当留出加工余量，也就是应当比 45 毫米稍长一些。


\lianxi
\begin{xiaotis}

列出一元一次方程解下列应用题：

\xiaoti{买 4 本练习本与 3 攴铅笔一共用了 0.68 元。已知铅笔每的价格是 0.08 元，练习本每本的价格是多少？}

\xiaoti{某地 1982 年粮食平均每公顷产量达到 8160 千克，比 1952 年平均每公顷产量的 4 倍还多 480 千克。
    求该地 1952 年食平均每公顷产量。
}

\xiaoti{把黄豆发成豆芽后，重量可以增加 7.5 倍，要得到 3400 千克这样的豆芽，需要多少千克黄豆？}

\xiaoti{要锻造一个直径为 10 厘米，高为 8 厘米的圆柱形毛坯，应截取直径为 8 厘米的圆钢多长？}

\xiaoti{用直径为 200 毫米的圆钢锻造成长、宽、高分别为 300 毫米、300 毫米、80 毫米的长方体底板，
    应截取圆钢多长（精确到 1 毫米。 对于本节练习和习题，计算时可取 $\pi$ 的近似值为 3.14）？
}

\end{xiaotis}
\lianxijiange


\liti 甲、乙两站相距 360 公里。一列慢车从甲站开出，每小时走 48 公里；
一列快车从乙站开出，每小时走 72 公里。

（1） 两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？

（2）快车先开 25 分，两车相向而行，快车开了几小时与慢车相遇？

分析： （1） 由于两车同时从甲、乙两站开出，相向而行，当它们相遇时，它们所走的路程的和等于两站之间的路程。
如果设两车开了 $x$ 小时相遇，就可以分别表示出两车所走的路程，从而可以按照上述相等关系列出方程。

（2）因为当快车从乙站开了 25 分到达丙地（图 \ref{fig:3-4}）时慢车从甲站相向开出，
所以当它们相遇时，快车先走的路程，加上快车从丙地算起所走的路程，再加上慢车走的路程，等于甲、乙两站之间的路程。
如果设慢车开了 $x$ 小时两车相遇，那么上面三段路程都可以表示出来，从而可以按照上述相等关系列出方程。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czds1-ch3-4}
    \caption{}\label{fig:3-4}
\end{figure}


\jie （1） 设两车开了 $x$ 小时相遇， 那么慢车走了 $48x$ 公里， 快车走了 $72x$ 公里，根据题意，得
$$ 72x + 48x = 360 \juhao $$

解这个方程：
\begin{gather*}
    120x = 360 \douhao \\
    x = 3 \juhao
\end{gather*}

答： 两车开了 3 小时相遇。

（2） 设慢车开了 $x$ 小时两车相遇，那么快车先走的路程是 $72 \times \dfrac{25}{60}$ 公里，
快车从丙地算起所走的路程是 $72x$ 公里，慢车走的路程是 $48$ 公里，根据题意，得
$$ 72 \times \dfrac{25}{60} + 72x + 48x = 360 \juhao $$

解这个方程：
\begin{align*}
    30 + & 120x = 360 \douhao \\
         & 120x = 330 \douhao \\
         & x = 2\dfrac{3}{4} \juhao \\
    \dfrac{25}{60} + & 2\dfrac{3}{4} = 3\dfrac{1}{6} \juhao
\end{align*}

答： 快车开了 3 小时 10 分与慢车相遇。


\liti 在甲处劳动的有 27 人，在乙处劳动的有 19 人。
现调 20 人去支援，使在甲处劳动的人数为乙处劳动人数的 2 倍，应调往甲、乙两处各多少人？

分析：这个问题里的相等关系可以表示为
$$ \text{调人后甲处人数} = \text{调人后乙处人数的 2 倍} \juhao $$
因为共调了 20 人支援，所以如果设应调往甲处 $x$ 人，就可以表示出应调往乙处的人数，
从而可以按照上面的相等关系列出方程。

\jie 设应调往甲处 $x$ 人，那么应调往乙处 $(20 - x)$ 人。
于是在调人支援后，甲处人数是 $27 + x$，乙处人数是 $19 + (20 - x)$。 根据题意，得
$$ 27 + x = 2 [19 + (20 - x)] \juhao $$

解这个方程：
\begin{align*}
    27 + x &= 2 (39 - x) , \\
    27 + x &= 78 - 2x , \\
        3x &= 51 , \\
         x &= 17 \juhao
\end{align*}

并且，
$$ 20 - x = 20 - 17 = 3 \juhao $$

答：应调往甲处17 人， 调往乙处3 人。


\lianxi
\begin{xiaotis}

列出一元一次方程解下列应用题：

\xiaoti{挖一条长 1210 米的水渠，由甲、乙两个施工队从两头同时施工。
    甲队每天挖 130 米， 乙队每天挖 90 米。 挖好水渠需要几天？
}

\xiaoti{甲、乙两站间的路程为 284 公里，一列慢车从甲站开往乙站，每小时走48 公里；
    慢车走了 1 小时后，另有一列快车从乙站开往甲站，每小时走 70 公里。快车开了几小时与慢车相遇？
}

\xiaoti{有两个运输队，第一队有 32 人， 第二队有 28 人， 现因任务需要，
    要求第一队人数是第二队人数的 2 倍。 需从第二队抽调多少人支援第一队？
}

\xiaoti{两个水池共贮水 40 吨， 甲池注进水 4 吨， 乙池放出水 8 吨，
    甲池水的吨数就与乙池水的吨数相等。两个水池原各有水多少吨？
}

\xiaoti{把面积是 16 公顷的一片地分成两部分， 使它们的面积的比等于 $3:5$，
    每一部分的面积是多少（提示：面积的比为 $3:5$， 表示分别占总面积的 3 份与 5 份，
    于是可设其中的 1 份为 $x$ 公顷） ？
}

\end{xiaotis}
\end{enhancedline}
